¿ como resolver un sistema de ecuaciones con 3 variables ?

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA DE
ADMINISTRACION INDUSTRIAL
CARRRERA: INFORMÁTICA
SECCIÓN: 202A1
UNIDAD CURRICULAR: MATEMATICA
PROFESOR: CIRO DI LAPI

Sistema de ecuación 3 variable

Abraham Contramaestre
C.I. 27.373.860
Roiman Caraballo
26.794.166
Juan León
26.645.460

CARACAS, MARZO 2018

Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional. En algunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución.
Método de reducción
Tomamos dos ecuaciones cualesquiera y eliminamos una incógnita, resultando una ecuación con dos incógnitas; ahora tomamos la que queda con una cualquiera de las dos tomadas anteriormente y eliminamos la misma incógnita que en el caso anterior, resultando otra ecuación con las dos incógnitas anteriores. De esta forma hemos reducidos el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.
Se deben seguir las pautas indicadas, pues en caso contrario llegaremos a una igualdad como CERO = CERO, nos liaremos “y” y no resolveremos el sistema.
EJEMPLO:
Resolver el siguiente sistema

Tomamos las dos primeras ecuaciones y eliminamos la incógnita x: como en la 1ª ecuación el coeficiente de la x es 2 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por (−2):

Tomamos la ecuación que queda (la 3ª) con una cualquiera de las dos tomadas anteriormente (elegimos la 2ª):

Así conseguimos el sistema equivalente (segunda ecuación del sistema inicial más estas dos ecuaciones donde se ha reducido la x):

Elegimos estas dos últimas ecuaciones, y de nuevo por reducción, eliminamos la z; como en la 1ª ecuación el coeficiente de la z es 3 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por − 3:

queda una ecuación con una incógnita, que despejando tenemos y = −14 / (−14) = 1
sustituyendo este valor de y en la 2ª ecuación resulta: 3·1 + z = 1 => 3 + z = 1
pasando el 3 del primer miembro al 2º con signo (−) queda z =1− 3 = − 2
Con estos valores de y = 1 y z = − 2 sustituimos en la 2ª ecuación del sistema inicial y se obtiene: x + 1 – (– 2) = 6 => x + 1 + 2 = 6 => x + 3 = 6 => x = 3
Solución: x = 3; y = 1; z = − 2

Método de Sustitución
Despejamos una incógnita (alguna, si hay, que tenga coeficiente unidad) de cualquiera de las ecuaciones; sustituimos el valor de esa incógnita en las otras dos ecuaciones y reordenamos términos, quedando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema

Despejamos x de la 2ª ecuación: x = 2z – y – 2
Sustituyendo el valor de x en las otras dos, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Quitando paréntesis y ordenando se obtiene:

Entrando con el valor de y en la 1ª ecuación: –5(3z – 3) + 8z = 15 => –15z +15 + 8z = 15 => z = 0
Sustituyendo (con z = 0) en y = 3z – 3 => y = 3·0 –3 = –3
Puesto que x = 2z – y – 2 => x = 2·0 –(–3) – 2 = 1. Solución: x = 1; y = –3; z = 0

Casos Particulares:
A veces en el trascurso de la resolución de un sistema nos encontramos con algunos inconvenientes, se atasca el ejercicio, y no sabemos resolver:
• Si encontramos una ecuación con 0x = 0, 0y = 0, 0z = 0, en general el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones).
• Si encontramos una ecuación con 0x = a, a ≠0, 0y = b, b ≠0, 0z = c, c ≠0, (por ejemplo, 0x = 7) el sistema es incompatible (NO hay solución).
Para nivel superior (los más aventajados) se puede estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de sistemas y su resolución por otros métodos.

Método de igualación

1. Elijo una de las tres incógnitas y la despejo en las 3 ecuaciones.

1. De las 3 ecuaciones tengo que elegir 2 (cualquiera) y las igualo. Yo voy a elegir la primera y la segunda.

Vemos que, al igualarlas, me quedaron solo dos incógnitas, finalmente despejo una de ellas (yo voy a elegir P), a este resultado lo denomino A.

1. Ahora tomo la ecuación que no había utilizado (la 3º) y la igualo con alguna de las otras dos, voy a tomar la 1º.

Nuevamente me quedaron 2 incógnitas, de ellas despejo la misma que despeje antes (la P), al resultado lo denomino B.

1. Igualo A con B y, de esa manera, obtengo el valor de Y.

2. Para obtener el valor de P, reemplazo a la Y por el valor hallado en A o en B (yo voy a elegir B).

1. Finalmente, para obtener el valor de X, reemplazo la (Y) y la P por sus valores en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales. (Utilizo la 1º)

Método de Gauss
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Ejemplo

Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

Encontrar las soluciones.
z = 1
−y + 4 · 1 = −2 y = 6
x + 6 − 1 = 1 x = −4